在留許可の申請について
フィンランドに3ヶ月以上滞在する場合には在留許可を取得する必要があります。
以下では、在留許可の申請方法(私の場合)について紹介します。
この情報は2013年11月現在のものであり、最新の情報についてはフィンランド大使館のページなどを参照してください。

・自身の在留許可の申請について
在留許可の申請については、留学・学生、就労、研修生、研究者として在留許可を申請する場合は下記のサイトから電子申請ができます。私の場合は、訪問研究員としてオウル大学に滞在するため、研究者としての申請を行いました。


ここから、目的にあった申請書をダウンロードし、申請書に必要事項を記入し添付書類(収入の証明書、Invitation Letterなど)を準備したらサイトの右端にある Submit your application online! というところから申請書類一式をアップロードします。アップロードが完了したら、東京にあるフィンランド大使館で指紋の採取およびアップロードした書類の原本の確認を行って申請完了です。
申請サイト(Submit your application online!)では、自身の申請書類の処理状況について確認することができます。

申請処理はInitiated, Being processed, Being decided on, Waiting for notificationの4段階に分かれています。
大使館での書類の確認がInitiatedの処理段階になります。
ですので、電子申請を行ったとしても大使館での指紋採取および書類確認が完了していなければ手続きが進まないので電子申請をしたら早めに大使館へ出向くことをお勧めします。
私の場合は、大使館での書類確認後、約2週間程度で在留許可のカードが届きました。
処理にかかる時間は、申請種別によって異なるようです。大まかな日数についてはthe Finnish Immigration Serviceのサイトに掲載されているので参考にしてください(Average processing times)。

・家族分の在留許可の申請について
家族分については、2013年11月現在では電子申請はできません。なので、紙媒体で申請書類を提出する必要があります。書類については、the Finnish Immigration Serviceから入手することができます。家族分の在留許可の申請についてはフィンランド大使館での申請の他にフィンランド警察での現地申請が可能なようです(場合によってできないこともあるかもしれないので、大使館に確認して下さい)。
私の場合は、大使館へ電話で問い合わせを行った際に、家族分の申請書類の処理には長い時間(3ヶ月程度)かかるため、地元警察での申請を勧められ、オウルの地元警察で申請を行いました。
(追記)実際には、申請から1ヶ月程度で許可証が届きました。

地元警察での申請は、まず、フィンランド警察の予約サイトより申請日時を予約します。この際、予約は申請人数分確保する必要があるそうです(私の場合三人分の申請に対して一人分の予約だったので少しブツブツと言われました)。あとは、日本での申請と同様に申請書類と添付書類を持って警察署に行って各書類の提出を行うだけです。申請処理の最後に、申請結果待の状態で3ヶ月以上滞在することになっても大丈夫なように許可証を発行してくれます。

家族分の申請で少しだけ面倒だったことは、婚姻関係があることを証明するために戸籍謄本を提出する必要があったことです。戸籍謄本については、英訳を準備する必要があり、また、書類に対してアポスティーユという外務省の証明を得る必要があります。私の場合は、佐世保市役所で戸籍謄本の英訳の申請も可能であったため比較的楽でしたが、戸籍謄本の英訳を発行してもらえない場合は自身で英訳をするか代行業者に依頼する必要があるようです。